Bab 2 - KPK dan FPB

Latihan Renang

Gambar 2.1 Latihan Renang

Nisa dan Yohana latihan berenang di tempat yang sama. Nisa berlatih setiap 3 hari sekali dan Yohana berlatih setiap 4 hari sekali. Hari ini, tanggal 3 Agustus, Nisa dan Yohana latihan renang bersama-sama. Kapan mereka akan latihan renang bersama kembali?

Pada bab ini kita akan belajar materi kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan faktor persekutuan terbesar (FPB). Masalah terkait jadwal latihan renang Nisa dan Yohana dapat kita selesaikan dengan menggunakan KPK. Wah, menarik bukan? Bagaimana caranya? Ayo, kita simak dengan baik pelajaran pada bab ini supaya dapat membantu Nisa dan Yohana.

Ayo Mengingat Kembali

Di kelas sebelumnya, kalian sudah belajar tentang kelipatan dan faktor.

Sebelum memulai pembelajaran di bab yang baru, ayo kita coba mengingat kembali apa yang sudah pernah kita pelajari.

1. Sebutkan bilangan kelipatan 2.
2. Sebutkan bilangan kelipatan 4.
3. Sebutkan bilangan kelipatan 6.
4. Tuliskan semua faktor dari 6.
5. Tuliskan semua faktor dari 10.

A. Kelipatan

Eksplorasi 2.1

Ayo Bermain

Gambar 2.2 Bermain Tepuk Bilangan Kelipatan

Kali ini, kita akan bermain “Tepuk Bilangan Kelipatan”. Aturan mainnya sebagai berikut.

1. Buatlah kelompok besar dengan anggota paling sedikit 8 orang.
2. Atur duduk kalian membentuk lingkaran.
3. Sebagai contoh, kita akan bermain “Tepuk Bilangan Kelipatan 3”.
4. Tentukan salah satu peserta sebagai orang pertama yang akan memulai menyebutkan bilangan.
5. Sebutkan bilangan secara berurutan, mulai dari orang pertama menyebut satu bilangan, misalnya 3, dan dilanjutkan oleh orang di sebelah kanan atau kirinya, dan seterusnya.
6. Dengan demikian, setiap orang menyebutkan bilangan kelipatan kelipatan 3 secara berurutan, misalnya 3, 6, 9, dan seterusnya.
7. Jika sudah selesai satu putaran, kalian boleh tetap menyebutkan bilangan selanjutnya.
8. Kalian boleh melanjutkan permainan dengan kelipatan bilangan yang lain.

Saat kalian bermain “Tepuk Bilangan Kelipatan” dan memilih menggunakan bilangan kelipatan 3, coba kalian tunjuk, pada bilangan berapa saja pemain harus bertepuk tangan. Salin tabel berikut di buku tugasmu, lalu warnai semua bilangan kelipatan 3 di tabel tersebut.

Bilangan kelipatan 3 adalah bilangan bulat yang dikalikan dengan 3. Contohnya: 1 x 3, 2 x 3, 3 x 3, 4 x 3, dan seterusnya.

0 yang diperoleh dari 0 x 3 bukan merupakan bilangan kelipatan 3.

Ayo Berlatih

1. Salin tabel berikut di buku tugas kalian, kemudian coba lingkarilah bilangan kelipatan yang sesuai dengan bilangan yang diminta.
2. Coba kalian tuliskan minimal 5 bilangan kelipatan 6.
3. Coba kalian tuliskan minimal 5 bilangan kelipatan 8.

B. Kelipatan Persekutuan

Eksplorasi 2.2A

Ayo Bermain

Ayo kita bermain “Tepuk Bilangan Kelipatan” lagi. Namun, kali ini aturannya kita tambah, ya.

1. Buat kelompok besar. Kalian dapat memainkannya bersama teman seluruh kelas. Semua siswa boleh duduk di kursi masing-masing.
2. Sebagai contoh, kita akan bermain “Tepuk Bilangan 2 dan 3”.
3. Sebutkan bilangan secara berurutan mulai dari 1.
4. Ketika kalian mendapat giliran menyebutkan bilangan kelipatan 2, misalnya 2, 4, 6, ..., kalian harus bertepuk tangan tanpa menyebutkan bilangannya.
5. Ketika kalian mendapatkan giliran menyebutkan bilangan kelipatan 3, misalnya 3, 6, 9, ..., kalian harus bilang "Hore!" dengan lantang.

Pada tabel sebelumnya, kalian menemukan bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 2 dan juga kelipatan 3. Sebagai contoh bilangan 6, 12, dan 18 merupakan kelipatan 2 dan juga kelipatan 3.

Dalam Matematika, bilangan kelipatan yang sama itu disebut kelipatan persekutuan.

Dari semua bilangan kelipatan persekutuan, bilangan kelipatan yang paling kecil disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Cara Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Bagaimana cara menentukan KPK dari dua bilangan atau lebih? Ayo perhatikan cara berikut.

• Sebagai contoh kita akan mencari KPK dari 4 dan 5.
• Tuliskan bilangan kelipatan 4 dan kelipatan 5.
• Bandingkan bilangan-bilangan kelipatan 4 dan kelipatan 5 berikut, kemudian tandai bilangan yang sama.
• Bilangan-bilangan yang sama tersebut adalah bilangan persekutuan dari 4 dan 5. KPK adalah bilangan persekutuan yang paling kecil sehingga bilangan persekutuan terkecil (KPK) dari 4 dan 5 adalah 20.

Eksplorasi 2.2B

Latihan Renang

Nisa dan Yohana latihan renang di tempat yang sama. Nisa berlatih setiap 3 hari sekali dan Yohana berlatih setiap 4 hari sekali. Hari ini, tanggal 3 Agustus, Nisa dan Yohana berlatih renang bersama-sama. Kapan mereka akan berlatih renang bersama kembali?

Yohana juga ingin tahu kapan lagi ia akan berlatih bersama Nisa. Yohana menggunakan cara berikut untuk mencari tahu kapan waktu paling dekat mereka akan berlatih bersama lagi. Bilangan kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … Bilangan kelipatan 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … Jadi, waktu paling dekat bagi Yohana dan Nisa untuk berlatih bersama lagi adalah tanggal 3 Agustus + 12 hari, yaitu tanggal 15 Agustus.

Ayo Berdiskusi

1. Perhatikan cara Nisa dan Yohana dalam menentukan jadwal latihan bersama mereka yang terdekat. Diskusikan dengan teman kelompokmu, lalu coba jelaskan cara yang mereka gunakan. Presentasikan hasil temuan kelompokmu kepada kelompok lain. Bandingkan hasil temuan kalian.
2. Asep dan Lukas juga ikut kelas berenang. Mereka berlatih renang di tempat yang sama. Asep berlatih setiap 3 hari dan Lukas berlatih setiap 5 hari. Pada tanggal 20 Agustus mereka berlatih bersama-sama. Kapan waktu paling dekat mereka akan berlatih bersama lagi?

Ayo Berlatih

1. Tentukan KPK dari kelompok bilangan berikut: a. 5 dan 7 b. 6 dan 8 c. 3, 4, dan 5
2. Dinda dan Amelia les piano di tempat yang sama. Dinda berlatih setiap 5 hari dan Amelia berlatih setiap 2 hari. Jika pada tanggal 14 Juli mereka berlatih bersama-sama, kapan waktu paling dekat mereka akan bersama lagi?

C. Faktor

Eksplorasi 2.3A

Ayo Berkreasi

Alat dan Bahan

• Alat tulis
• Penggaris
• Gunting
• Kertas berpetak ukuran 1 cm x 1 cm
• Pensil warna, krayon, atau spidol warna.

Langkah Kerja

1. Sediakan 6 lembar potongan kertas berpetak. Setiap potongan berukuran panjang 12 petak dan lebar 1 petak.
2. Potong kertas berpetak yang sudah disiapkan di langkah ke-1. Panjang tiap potongan harus sama dan tidak boleh ada kertas yang tersisa.
3. Tuliskan hasil pemotongan kertas pada tabel.
4. Tuliskan semua bilangan yang muncul dalam tabel pada langkah ke-3. Jika ada 2 bilangan yang sama, kalian cukup menuliskan sekali saja.
5. Bilangan yang kalian tuliskan pada langkah ke-4 disebut faktor dari 12.

Bilangan cacah yang dapat membagi 12 tanpa ada sisa disebut faktor dari 12. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

Eksplorasi 2.3B

Ayo Menemukan Faktor dari 18

Langkah Kerja

1. Di kertas berpetak, gambarlah 6 buah persegi panjang dengan panjang 18 satuan. Selanjutnya, bagilah persegi panjang tersebut menjadi beberapa bagian. Setiap bagian sama panjang dan tidak ada sisa. Warnai setiap bagian yang berdekatan dengan warna berbeda.
2. Tuliskan hasil dari kegiatan nomor 1 pada tabel.
3. Lengkapi lingkaran-lingkaran berikut dengan faktor dari 18. Urutkan dari yang paling kecil.

Faktor-faktor pada suatu bilangan saling berpasangan. Contohnya faktor dari 18 berikut:

• 1 berpasangan dengan 18, artinya 1 x 18 = 18
• 2 berpasangan dengan 9, artinya 2 x 9 = 18
• 3 berpasangan dengan 6, artinya 3 x 6 = 18

Ayo Berlatih Perhatikan kembali Eksplorasi 2.3B nomor 3 di halaman sebelumnya. Dengan cara yang sama, tentukan faktor-faktor dari bilangan-bilangan berikut:

1. 24
2. 36
3. 54
4. 72
5. 96

D. Faktor Persekutuan

Ayo Menyimak

Permainan Congklak

Congklak adalah permainan tradisional Indonesia yang banyak dimainkan di berbagai daerah di Indonesia. Untuk memainkan congklak, kita membutuhkan peralatan berikut:

1. Dua buah papan congklak.
2. Biji congklak dengan dua warna berbeda. Setiap warna minimal 20 biji.

Aturan Permainan

1. Dekatkan kedua papan congklak.
2. Beri nomor setiap lubang congklak secara berurutan.
3. Untuk aturan permainannya akan kita ubah. Kali ini kita akan bermain dengan faktor bilangan. Sebagai contoh, kita akan bermain dengan faktor 12 dan 18.
4. Pemain 1 dan pemain 2 menggunakan biji congklak dengan warna yang berbeda.
5. Sekarang perhatikan. Adakah lubang pada papan congklak yang berisi dua biji congklak?

Dalam matematika, faktor-faktor yang sama antara bilangan 12 dan 18 disebut faktor persekutuan dari 12 dan 18. Dari bilangan 1, 2, 3, dan 6, 6 adalah yang paling besar sehingga 6 adalah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 12 dan 18.

Eksplorasi 2.4A

Ayo Bermain Congklak

1. Bermainlah secara berpasangan.
2. Gunakan aturan permainan congklak seperti pada bagian Ayo Menyimak.
3. Temukan FPB dari pasangan bilangan berikut dengan menggunakan bantuan permainan congklak (a. 6 dan 12, b. 8 dan 20, c. 12 dan 28).

Eksplorasi 2.4B

Ayo Membantu

Pagi ini ibunya Nisa membeli bunga mawar merah dan mawar putih. Beliau membeli 24 tangkai mawar merah dan 18 tangkai bunga mawar putih. Selanjutnya, beliau meminta Nisa untuk mengatur bunga-bunga tersebut pada vas bunga.

Ayo Berdiskusi Diskusikan dengan temanmu. Coba pikirkan, bagaimana hubungan faktor bilangan dengan cara pembagian benda seperti pada Eksplorasi 2.4B?

Ayo Berlatih

1. Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari bilangan-bilangan berikut (a. 15 dan 35, b. 12 dan 42).
2. Dania akan merayakan ulang tahun. Ia berencana membuat bingkisan untuk teman-temannya yang hadir di pesta. Setiap paket berisi susu kotak, permen lolipop, dan biskuit. Banyaknya jenis barang pada setiap paket sama. Ia memiliki 36 susu kotak, 48 permen lolipop, dan 24 bungkus biskuit. Berapa paket paling banyak yang dapat dibuat?

E. Menentukan KPK dan FPB dengan Menggunakan Faktor Prima

1. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. Bilangan 1 bukan termasuk bilangan prima. Contoh bilangan prima terkecil yang kita ketahui adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

2. Menyatakan Bilangan sebagai Hasil Perkalian Bilangan Prima

Suatu bilangan ternyata dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari bilangan prima. Cara menyatakan bilangan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima disebut faktorisasi prima.

3. Menentukan KPK dan FPB Menggunakan Faktorisasi Prima

Ayo, kita tentukan KPK dan PFB dari bilangan 72 dan 96 dengan menggunakan faktorisasi prima.

4. Menentukan KPK dan FPB Menggunakan Pembagian Berulang

Ayo kita perhatikan cara menentukan KPK dan FPB dengan menggunakan pembagian berulang.

Ayo Berlatih

1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan pohon faktor (a. 60, b. 96).
2. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan cara faktorisasi prima dan cara pembagian berulang (a. 42, 60; b. 27, 81; c. 6, 10, 15; d. 7, 18, 33; e. 30, 64, 86).

Refleksi

Setelah mempelajari materi terkait KPK dan FPB, isilah tabel berikut sesuai dengan pemahaman kalian. Berilah tanda centang (√) pada kolom yang sesuai.

1. Aku dapat menentukan kelipatan suatu bilangan.
2. Aku dapat menemukan kelipatan persekutuan dua bilangan atau lebih.
3. Aku dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dua bilangan atau lebih.
4. Aku dapat menentukan faktor suatu bilangan.
5. Aku dapat menemukan faktor persekutuan dua bilangan atau lebih.
6. Aku dapat menemukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dua bilangan atau lebih.
7. Aku dapat menyelesaikan masalah menggunakan KPK dan FPB.
8. Aku dapat menyebutkan bilangan prima.
9. Aku dapat membuat faktorisasi prima suatu bilangan.

Uji Kompetensi

1. Tentukan KPK dan FPB dari pasangan bilangan berikut.
2. Kelompok Belajar
3. Lampu Lalu Lintas
4. Kalender Bali dan Jawa